Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

Отберем весь необходимый объем материала с точки зрения целей обучения математики.

Начинаем отбор материала с точки зрения общеобразовательной значимости. Главной целью изучения многочленов исторически было решение целых алгебраических уравнений. Из школьной практики известно, что для решения уравнений вида f(x)=0 очень полезно разложить f(x) на множители: если f(x)=g(x)·h(x), то дальнейшее сводиться к решению двух более простых уравнений g(x)=0 и h(x)=0.

Однако, найдя даже несколько корней уравнения, мы далеко не всегда решим уравнение. Например, для уравнения x4 – x3 – 6x2 – x + 3 = 0 легко подобрать корни –1 и 3, но что делать дальше, неясно.

Между тем небольшое продвижение в теории существенно поможет нам в решении уравнений. Дело в том, что понятие корня тесно связано с разложением многочленов на множители – точнее, с выделением в многочлене линейного множителя. Но если, решая уравнение f(x)=0, мы сможем разложить многочлен f на множители, то далее остается решать только уравнения меньших степеней.

Рассмотрим следующий пример: Решить уравнение х3+2х2+3х-22=0.

Нетрудно проверить, что многочлен f(x)= имеет корень 2. Поэтому по теореме Безу f(x) делится на х-2, т. е. имеет место равенство

х3+2х2+3х-22 = (х-2) (х2+4х+11).

Остается, следовательно, решить квадратное уравнение х2+4х+11=0.

Это уравнение, очевидно, не имеет действительных корней, так что х =2 - единственный действительный корень исходного уравнения.

В этой задаче мы продемонстрировали общий факт: если известен хотя бы один корень алгебраического уравнения степени n, то с помощью теоремы Безу можно, как говорят, понизить степень, т. е. свести задачу к решению уравнения степени n-1.

Этот прием позволяет решить любое уравнение третьей степени, если, конечно, удастся подобрать какой-нибудь его корень.

При решении таких задач большую пользу приносит все та же схема Горнера. Напомним, что в конце второй строки этой схемы получается значение многочлена f при x=c. Однако на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного от деления на x-c.

Построим схему Горнера для многочлена f=3x5-5x4-7x2+12 и с=1, -1,2:

Желающие могут самостоятельно убедится, что составив по каждой из трех "вторых" строк соответствующий многочлен степени 4, мы действительно получим частным:

f=(3x4-2x2-2x2-9x-9)(x-1)+3,

f=(3x4-8x3+8x2-15x +15)(x+1)-3,

f=(3x4+x3+2x2-3x-6)(x-2).

Решим в качестве примера рассмотренное выше уравнение

x4-x3-6x2-x+3=0.

Целые корни многочлена f= x4-x3-6x2-x+3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа ±1 и ±3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно равна 0.

При х=-1: имеем схему

Мы видим, что –1 – корень f, и в частном получается многочлен

g=x3-2x2-4x+3.

Значение х=1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. Значение х=-1 проверить обязательно – ничто не мешает ему быть также и корнем частного g:

Следовательно, g (-1)¹0.

Составим схему Горнера для х=3:

обучение подросток алгебра теорема

Новое о педагогике:

Система образования в Западной Европе
Философско-педагогическая мысль Раннего Средневековья основной своей целью ставила спасение души. Многие идеологи христианства открыто демонстрировали враждебность к идеалам античного воспитания, требуя устранить из программы образования г ...

Основы педагогических технологий физического воспитания в системе высшего образования
Существенные преобразования, происходящие во всех странах и в России, доказывают о изменение общественного мнения от “индустриализации” в сторону “информатизации” или “информационно-индустриализации.” Общество с информационно-индустриальны ...