Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

Основные свойства делимости в множестве многочленов те же, что и в множествах натуральных и целых чисел. Например, если f делится на g и g делится на h то f делится на h.

В самом деле, если f = gu и g = hv, то f = uhv = h (uv) так что f действительно делится на h. Доказательства этих свойств проводятся точно так же, как и в числовых множествах. Купить облицовочный кирпич в омске здесь еще больше.

Делимость многочленов имеет большое значение для решения уравнений: если многочлен f делится на многочлен g, т. е. f представляется в виде f = gh, то уравнение f(х)=0 равносильно уравнению g(х)h(х)=0. Поэтому дальше надо решить уравнения g(х)=0 и h(х)=0, каждое из которых имеет степень, меньшую степени многочлена f, т. е. существенно проще.

Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для ее решения полезным оказывается новое понятие - деление многочленов с остатком. С подобным понятием (деление с остатком) учащиеся уже встречались в множестве натуральных чисел.

Определение. Остатком от деления многочлена f на многочлен g¹0 называется такой многочлен r, что

1) разность f-r делится на g;

2) многочлен r либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень g.

Отметим сразу же, что утверждения: "остаток от деления f на g - нулевой" и " f делится на g" означают одно и то же.

Из определения остатка следует, что если r — остаток от деления f на g, то разность f - г имеет вид gq, где q - некоторый многочлен, и следовательно, f=gq+r. Это представление многочлена через делимое g и остаток r очень важно для теории и для практики решения задач.

Но дело в том, что определение частного и остатка не дают никакой информации о существовании и единственности частного и остатка при делении одного многочлена на другой. Поэтому нам понадобится следующая теорема:

Теорема.

Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство f(x)=g(x)q(x)+r, и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

Коротко эту теорему можно сформулировать так: любой многочлен на любой ненулевой многочлен можно однозначно разделить с остатком. Именно эта однозначность и позволяет ввести термины "остаток" и "частное" (или, как и в натуральных числах, полное частное").

Для нахождения остатка существует специальный прием, алгоритм - "деление уголком". Основа этого алгоритма - последовательное понижение степени делимого. Мы покажем его на конкретном примере, а затем сформулируем правило деления.

Пусть f =4х5 – Зх3 + х – 1, g =2x2 - 3. Домножим g на такой одночлен, чтобы старшие члены f и g "уравнялись": это будет, очевидно, одночлен q1, = 2х3, а получить его можно, разделив 4х5 на 2х2. Так как старшие члены многочленов f и gq1, оказались равными, то при вычитании из f произведения gq1 получим многочлен степени меньшей, чем у многочлена f.

Обозначим эту разность через f1; тогда f1 = f — gq1 = (4х5 – Зх3 + х – 1) – (2x2 – 3)·2x3 = (4х5 – Зх3 + х – 1) – (4x5 – 6x3) = 3x3 + x – 1.

Теперь вместо f будем рассматривать многочлен f1, и уравняем старшие члены f1, и g - для этого g надо домножить на q2 = 3x3:2x2 = x. Новая разность f2, равна f2 = f — gq2 = (3x3 + x – 1) – (2x2 - 3)· x = (3x3 + x – 1) – (3x2 - x) = x – 1, и мы получили многочлен степени 1 — меньшей, чем степ многочлена g.

Оказывается, что этот многочлен f2, и есть искомый остаток (по определению). В самом деле, о степени его мы уже сказали, а с другой стороны I

f2 = f — gq2 , f1 = f — gq1 ,

и поэтому

f2 = f — gq2 = f — gq1 - gq2 ,

откуда

f = f2 + gq1 + gq2 = f2 + g(q1 + q2),

Другими словами, многочлен f2, удовлетворяет определению остатка от деления многочлена f на многочлен g.

Итак, мы разделили f на g с остатком:

4х5 – Зх3 + х – 1 = (2x2 - 3)(2x3 + x) + x – 1.

Таким образом, в процессе деления с остатком осуществляем одни и те же действия: на каждом шагу делим старший коэффициент "промежуточного" многочлена с некоторым индексом на старший коэффициент многочлена g, умножаем g на частное, вычитаем произведение из "промежуточного" многочлена, получаем следующий многочлен - до тех пор, пока не получится "промежуточный" многочлен степени меньшей, чем степень многочлена g, - это и есть остаток.

Итак, всякий многочлен f можно разделить с остатком на сбой другой многочлен g, отличный от нулевого, и это всегда можно сделать с помощью деления "уголком".

Однако в случае, когда многочлен g - линейный, т. е. f = ax+ b, то вычисления можно провести по схеме Горнера (нетрудно убедится, что схема дает одновременно и остаток, и частное).

Новое о педагогике:

Особенности возрастного развития физических качеств
Развитие физических качеств у детей школьного возраста происходит неравномерно: этапы ускоренного их формирования сменяются периодами замедления. Эти этапы, как правило, не совпадают по времени, что еще более усложняет возможность их учета ...

Понятие девиантного поведения
Девиантное поведение определяется как отклоняющееся поведение, т.е. как отдельные поступки или система поступков, противоречащих общепринятым в обществе правовым или нравственным нормам. Для характеристики отклоняющегося поведения использу ...