Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

4.Теорема Безу. В учебной литературе представлены различные трактовки и доказательства теоремы Безу, приведем некоторые из них.

Остаток от деления многочлена f(x) на x-a равен значению f(x) при x=a.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-а. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток r есть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде

f (x) = (x — a) q(x)+r.

Положив в этом тождестве x=a, получим, что f(a) =r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучлен x-a равен значению многочлена при х=а [32].

Для того чтобы многочлен f(x) делился на x-c, необходимо и достаточно, чтобы f(c)=0.

Доказательство.

Необходимость. Пусть f(x) делится на x-c, т.е. f(x)=(x-c)h(x). Следовательно f(c)=0.

Достаточность. Пусть f(c)=0. Тогда в равенстве f(x)=(x-c)h(x)+r будет

r=f(c)=0, т.е. f(x)=(x-c)h(x) [11].

3. Пусть f(x) – многочлен, c – некоторое число.

1) f(x) делится на двучлен x-c тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

2) Остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).

Доказательство.

Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f с остатком на x-c:

f(x)=(x-c)q+r;

по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x-c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в том случае, когда она равна нулю, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является нулем или отличным от нуля числом.

Подставив теперь в равенство f(x)=(c-c)q(c)+r значения x=c, мы получим

f(c)=(c-c)q(c)+r,

так что действительно r=f(c), и второе утверждение доказано [10].

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f(x) делится на x-c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f(x) делится на x-c" означает тоже самое, что и f(c)=0.

Чаще всего в учебной литературе встречается первая формулировка, но она будет трудно доступна для восприятия учащимися в силу своей краткости.

На мой взгляд, наиболее удачны третья формулировка и доказательство (Дорофеев, Пчелинцев) теоремы Безу, но 1-й и 2-й пункты следует поменять местами потому что, во-первых, утверждение 2 проще открыть и, во-вторых, с него начинается доказательство теоремы.

5. Следствия из теоремы Безу. Материал, представленный в данном пункте, позволит учащимся ответить на важный теоретический вопрос: "Сколько корней имеет уравнение n-степени?"

Теорема 1.

Многочлен степени n имеет не более n корней.

Доказательство.

Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и с – один из его корней. Предположим противное – пусть k> n.

По теореме Безу, f=(x-c)g, и частное g имеет степень n-1. Всякий корень f, отличный от с, является одновременно и корнем g: если f(a)=0, то (a-c)g(a)=0, откуда g(a)=0, так как a¹c. Другими словами, многочлен g имеет по меньшей мере k-1> n-1 корней, т.е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно привести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k> n неверно, и следовательно, k не больше n.

Нетрудно привести примеры, когда многочлен степени имеет ровно n корней и когда он имеет меньше n корней, в частности, вообще не имеет корней. Эти примеры полезно придумать самостоятельно.

При этом следует иметь в виду, что число корней многочлена существенно зависит от того, какое числовое множество мы рассматриваем.

Например, многочлен f=x2-2 не имеет корней в множестве рациональных чисел Q – не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. В то же время в множестве действительных чисел R он имеет два иррациональных корня (±).

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительных важных и для теории, и для практики утверждения.

Теорема 2.

Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения по меньшей мере при n+1 значении х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство.

"В одну сторону" это утверждение очевидно: если многочлены имеют одинаковые коэффициенты, то при всех значениях х они, естественно, принимают одинаковые значения.

И наоборот, если многочлены f и g имеют степень не больше n, то их разность h либо является нулевым многочленом, а тогда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты, либо отлична от нуля и имеет степень не больше n. Но тогда эта разность имеет не меньше чем n+1 корень – это те значения переменной х=хi, при которых h(xi)=f(xi)-g(xi)=0, что противоречит теореме 1 о числе корней: число корней разности большее ее степени.

Новое о педагогике:

Система оценивания в начальной школе
Наша начальная школа работает по безотметочной системе оценивания. Для оценивания используются: правила безопасного оценивания (не скупиться на похвалу, хвалить исполнителя, а критиковать исполнение, ставить перед ребенком только конкретны ...

Построение сценария информационного процесса
Описание информационной технологии представим в виде поведенческой модели (диаграммы IDEF3). В ней отражаются такие категории как действия (работы), события (соединения, перекрестки) и связи между действиями (временные, объектные), отражаю ...